lim[n→∞]√2↑↑n=2

数学

日曜日にCSNagoyaのSICP勉強会に参加していて、タワー記法が出てきた流れで、 \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^\cdots}}=2だ(と思う)という話をしたら、id:yoshihiro503さんとid:mzpさんから意外とよい反応をいただいた。
証明をちゃんとつけてなかったのだけど、帰り道で考えていたらわりと簡単に証明できることが分かったので、一応その方針について書いておく。以下、 a_n = \sqrt{2}\uparrow\uparrow nとする。つまり、 a_0 = 1,\,a_{n+1} = \sqrt{2}^{a_n}。

  1. a_n < 2を示す
  2. a_n < a_{n+1}を示す
  3. 1. 2.より、 \{a_n\}は上に有界な単調増加数列なので極限値 \alphaをもち、しかも \alpha \le 2
  4. \alphaは\{a_n\}の極限値だから、 \alpha = \sqrt{2}^\alphaを満たす
  5. \alpha = 2というためには、 x = \sqrt{2}^xが 0 < x < 2の範囲に解をもたないことをいえばいい
  6. そのためには 0 < x < 2で x<\sqrt{2}^xがいえればよく、さらに[tex:2log_2x
  7. [tex:00]であることは、微分とか使ってごにょごにょすれば分かる

ってな感じで、帰納法と微積の総合問題ってことで大学の入試問題とかにすればいいと思う。